¿Qué es y para qué sirve el infinito?

que es el infinito

“¡Infinito!”, se gritan los niños para intentar finalizar sus interminables batallas de “y tú más”.

Infinito es el infierno (y el paraíso), el recorrido por la superficie de una cinta de Möbius, el corazón de un agujero negro, el amor de los adolescentes, la maldad de los hombres.

Infinitas debieran ser la bondad y la belleza, la compasión y la riqueza, pero no lo son.

Tampoco es infinito el Universo. Ni siquiera los mayores números imaginables caen en esa categoría.

En matemáticas hay cifras que son verdaderos engendros con nombres propios, que precisan de métodos especiales para escribirlos, como el Mega, el Moser o el inconcebiblemente gigantesco Número de Graham. Grandes, sí; pero aun así, muy lejos del infinito.

Paradojas del fin inexistente

Para los niños que se insultan, o los enamorados que se declaran, o los iluminados que contemplan el cielo una noche oscura, “infinito” es simplemente el superlativo de enorme. Nuestra mente trabaja con fronteras y distinciones, en un espacio tridimensional alejado de la abstracción. Por eso la idea de algo que no se acaba jamás nos resulta tan complicada, por no citar vagamente amenazante.

El diccionario nos dice que “infinito” es aquello “que no tiene ni puede tener fin ni término; en matemáticas, valor mayor que cualquier cantidad asignable”.

Paradójicamente, no es lo mismo que “ilimitado”, lo que no tiene límites. Así, nuestro Universo es ilimitado, pues carece de fronteras, pero no necesariamente infinito. A la inversa, existen conjuntos matemáticos acotados (con límites inferior y superior) que, sin embargo, son infinitos.

En realidad son dos

Y es que hay, de entrada, dos tipos de infinito. Por un lado está el infinito potencial, aquel que se deriva de un proceso, como añadir una unidad a cualquier número que seamos capaces de imaginar y que crea, así, un número mayor. El producto de este proceso nunca es un número infinito, pero siempre hay un número mayor (añadiendo otro): potencialmente, se llega al infinito. Sin alcanzarlo jamás. Podemos entender esta especie de amenaza de infinito que nunca se cumple.

A esta familia pertenecen el infinito del Análisis matemático y su gemelo, el infinitesimal. La idea de calcular volúmenes y áreas de figuras geométricas mediante la suma infinita de pedazos infinitamente pequeños aparece ya en los griegos, lo que dio origen a estos conceptos instrumentales en el desarrollo del Cálculo (integral y derivada). Luego llegaron las series y los límites, sin olvidar las asíntotas, esas tentadoras rectas a las que una función puede aproximarse infinitamente sin llegar a tocarla jamás. Estrechamente relacionados con estas ideas están conceptos propios de la cibernética como el Problema de la Detención (si un programa acabará de ejecutarse, o bien continuará hasta el infinito…) y los Bucles Infinitos.

Pero en la Teoría de Conjuntos aparece un infinito mucho más real, que existe en sí mismo. Porque, como ya sabía Galileo, el infinito potencial está lleno de trampas lógicas (¿qué ocurre al sumar un número cualquiera al infinito?). Gentes como Georg Cantor y sus números transfinitos (cardinales y ordinales) trabajaron en la definición de conjuntos que son infinitos, pero de diferentes tamaños y tipos.

Estas ideas contribuyeron a la construcción de las matemáticas modernas; paradójicamente, la existencia de un conjunto infinito ha de introducirse en forma de axioma, porque no se puede demostrar en el modelo actual.
El bueno de Georg Cantor, que era profundamente religioso, acabó loco, pobre y despreciado, intentando demostrar que mas allá de sus transfinitos había un “infinito absoluto”, que identificó con Dios.

Y sin embargo, existe toda una escuela matemática, la constructivista, que rechaza el uso del infinito y de cualquiera de sus variedades, lo cual limita sus capacidades, pero a cambio de un rigor formal mucho mayor.

La materia entra en juego

Gran parte de la moderna Física está muy emparentada con las matemáticas más avanzadas, así que no es de extrañar que nuestro querido infinito haga su aparición también aquí. Pero su sentido es diferente; en la Geometría pura, un punto puede carecer de dimensiones y una recta puede tener longitud infinita; pero en el Universo real, los objetos están compuestos de átomos. Los físicos rechazan el infinito en sus medidas, y no les gusta encontrarse con él en sus cálculos, aunque a veces no les queda más remedio que utilizarlo. En algunos casos, como en la Teoría de Campo Cuántico, aparecen infinitos en los cálculos, que son interpretados para darles sentido físico en un proceso denominado “renormalización”.

universo

El tamaño del Universo

Y sin embargo, los astrofísicos no pueden librarse tan fácilmente del concepto que les asalta cada vez que escrutan a fondo el cielo. No sólo sigue abierta la duda cosmológica de si el Universo es infinito o no, sino que entre las estrellas acechan aberraciones en forma de agujeros negros. En una concentración de materia así aparece una singularidad gravitacional: un punto en el cual las ecuaciones que rigen la gravedad se vuelven locas y empiezan a dar resultados absurdos. En una singularidad de este tipo, la curvatura del espacio-tiempo es infinita, como lo son la fuerza de la gravedad y la densidad; en cambio, el volumen y el radio pasan a ser cero. A los físicos, las fuerzas infinitas y los objetos de volumen cero les ponen nerviosos. Pero nadie ha conseguido renormalizar la singularidad de un agujero negro. Ni tampoco la singularidad que originó el Big Bang.

Parecidos “desastres” ocurren en las ecuaciones cuando la velocidad de un cuerpo se acerca a la de la luz: su masa aumenta hasta hacerse infinita, y con ella lo hace la energía necesaria para moverlo. Lo cual imposibilita, según las actuales teorías, acelerar un cuerpo hasta la velocidad de la luz.

Fuera de la Física y las Matemáticas, el infinito se ha desarrollado sobre todo en el campo de la Teología y la Metafísica; el propio Cantor acabó prendado de la idea de un infinito que contuviera dentro de sí a todos los demás y no fuese contenido por otro. Infinito en el tiempo es el premio, o el castigo, que prometen las religiones a sus seguidores y pecadores, respectivamente. Infinita es la paciencia de los lectores que me han seguido hasta aquí…;-)

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